Question

定义在R上的函数f （x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称，且满足f （x）=-f （x+

3

2

），f （1）=1，f （0）=-2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=

 

．

Answer 1

分析：根据题意得f （x+3）=f[（x+

3

2

）+

3

2

]=-f （x+

3

2

）=f （x）即函数的周期为3．由函数f （x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称得到f （-

3

2

-x）=f （x+

3

2

），所以可得函数f（x）是偶函数．结合奇偶性、周期性可得答案．

解答：解：由f （x）=-f （x+

3

2

）得f （x+3）=f[（x+

3

2

）+

3

2

]=-f （x+

3

2

）=f （x）
所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；
由f （x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称，知（x，y）的对称点是（-

3

2

-x，-y）．
即若y=f （x），则必-y=f （-

3

2

-x），或y=-f （-

3

2

-x）．
而已知f （x）=-f （x+

3

2

），故f （-

3

2

-x）=f （x+

3

2

），
今以x代x+

3

2

，得f （-x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．
于是有：f （1）=f （-1）=1；f （2）=f （2-3）=f （-1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=-2；
∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．
而2010=3×670，于是f （2010）=0；
故答案为0．

点评：解决此类问题的关键是周期利用函数的对称性与周期性得到函数是偶函数，再结合着函数的三个性质求解问题，高考经常考查这种周期性、单调性、奇偶性、对称性相结合的综合问题．