题目内容

已知数列a_n满足a₁=1，n≥2时， $数学公式$ ．
（1）求证：数列 $数学公式$ 为等差数列；
（2）求 $数学公式$ 的前n项和．

解：（1）证明：由已知 $\text{[math]}$ ．
整理可得a_n-1-a_n=2a_n-1a_n（n≥2），
同时除以a_na_n-1可得 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 为首项为 $\text{[math]}$ ，公差为2的等差数列．
（2）解：由（1）可知， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
S_n=1×3+3×3²+…+（2n-1）×3ⁿ①
3S_n=1×3²+3×3³+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
①-②得-2S_n=3+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6
所以得S_n=（n-1）3ⁿ⁺¹+3
分析：要证明数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，只要证明可得 $\text{[math]}$ ，由已知 $\text{[math]}$ 整理可得，
a_n-1-a_n=2a_n-1a_n，即 $\text{[math]}$ ，从而可证
（2）由（1）可求a_n，从而可得 $\text{[math]}$ ，利用错位相减法求数列的和即可
点评：本题主要考查了利用定义及构造法构造等差数列的形式，还考查了数列求和中的错位相减，错位相减是数列求和的考查重点及热点，但也是数列求和方法中的一个难点．

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．
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（n∈N^*）．
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