Question

设对于不大于

5

4

的所有正实数a，如果满足不等式|x-a|＜b的一切实数x，也满足不等式|x-a2|＜

1

2

，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可得b＞0，求出这两个不等式的解集，由题意可得 a²-

1

2

≤a-b，且 a+b≤a²+

1

2

，0＜a≤

5

4

．由此可得b小于或等于-a²+a+

1

2

 的最小值，且b小于或等于 a²-a+

1

2

的最小值，由此求得实数b的取值范围．

解答：解：由题意可得b＞0是不用求的，否则|x-a|＜b都没解了．
故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b．
由不等式|x-a2|＜

1

2

可得，-

1

2

＜x-a²＜

1

2

，即 a²-

1

2

＜x＜a²+

1

2

．
第二个不等式的范围要大于第一个不等式，这样只要满足了第一个不等式，
肯定满足第二个不等式，命题成立．
故有 a²-

1

2

≤a-b，且 a+b≤a²+

1

2

，0＜a≤

5

4

．
化简可得 b≤-a²+a+

1

2

，且b≤a²-a+

1

2

．
由于-a²+a+

1

2

=-(a-

1

2

)2+

3

4

∈[

3

16

，

3

4

]，故 b≤

3

16

．
由于 a²-a+

1

2

=(a-

1

2

)2+

1

4

∈[

1

4

，

13

16

]．故 b≤

1

4

．
综上可得 0＜b≤

3

16

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求二次函数在闭区间上的值域，函数的恒成立问题，属于中档题．