Question

如图，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=6，CD⊥AP于D，现将△PCD沿线段CD折成60°的二面角P-CD-A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

（Ⅰ） 求证：PA∥平面EFG；
（II）若M为线段CD上的动点，问点M在什么位置时，直线MF与平面EFG所成角为60°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD中点O，连接GO，OE，利用三角形中位线的性质，可得四边形OGFE为梯形，PA∥OE，利用线面平行的判定，可得PA∥平面EFG；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面EFG的法向量

n

=(0，

3

，-1)，设点M(λ，

3

2

，0)（0≤λ≤3），于是

MF

=(

3

2

-λ，-

3

4

，

3

4

3

)，利用直线MF与平面EFG所成角为60°，建立方程，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连接GO，OE，则四边形OGFE为梯形，PA∥OE

∵PA?平面EFG，OE?平面EFG，∴PA∥平面EFG；…（6分）
（Ⅱ）解：分别以OG，OD，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则

OG

=(3，0，0)，

OE

=(0，

3

4

，

3

4

3

)．
设平面EFG的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • OG =0 n • OE =0

，∴

3x=0 3 4 y+ 3 4 3 z=0

，
取y=

3

，得到

n

=(0，

3

，-1)．
设点M(λ，

3

2

，0)（0≤λ≤3），于是

MF

=(

3

2

-λ，-

3

4

，

3

4

3

)，
由题知sin60°=

| n • MF |

| n |×| MF |

，
即

3

2

=

|- 3 4 3 - 3 4 3 |

2× ( 3 2 -λ)2+ 9 16 + 9 16 ×3

，解得λ=

3

2

．
∴点M在CD的中点时，MF与平面EFG所成角为60°．…（14分）

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查利用空间向量解决线面角问题，正确求平面的法向量是关键，属于中档题．