Question

如图所示，已知A，B，C是圆O上三个点，AB弧等于BC弧，D为弧AC上一点，过点A做圆O的切线交BD延长线于E
（1）求证：AB平分∠CAE；
（2）若AD•BE=2

6

，∠ADE=30°，求△ABE的面积．

Answer 1

分析：（1）根据AB弧等于BC弧得∠BAC=∠BCA，再由弦切角定理得到∠EAB=∠BCA，所以∠EAB=∠BAC，即AB平分∠CAE；
（2）由弦切角定理得到∠EAB=∠BDA，结合∠AEB=∠DEA得到△AEB∽△DEA，可得AB•AE=AD•BE=2

6

，再根据∠EAB=∠ADE=30°，利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△ABE的面积．

解答：解：（1）∵⊙O中，AB弧等于BC弧，∴∠BAC=∠BCA，
又∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BCA，
因此，∠EAB=∠BAC，即AB平分∠CAE；
（2）∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BDA，
又∵∠AEB=∠DEA，
∴△AEB∽△DEA，可得

AD

AB

=

AE

BE

，得AB•AE=AD•BE=2

6

，
∵∠EAB=∠ADE=30°，
∴△ABE的面积S=

1

2

AB•AEsin∠EAB=

1

2

×2

6

×

1

2

=

6

2

．

点评：本题给出圆的切线，在已知弧相等的情况下证明AB平分∠CAE，并求三角形的面积．着重考查了弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的性质与判定和三角形的面积公式等知识，属于中档题．