Question

已知O为坐标原点，

OP

=(x，y)，

OA

=(a，0)，

OB

=（0，a），

OC

=(3，4)，记|

PA

|、|

PB

|、|

PC

|中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由已知中

OP

=(x，y)，

OA

=(a，0)，

OB

=（0，a），

OC

=(3，4)，我们记|

PA

|、|

PB

|、|

PC

|中的最大值为M，若a=0（A，B，O三点重合）时，则当P落在OC的中点上时，M取最小值；若a=7（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值；其它情况下，M落在△ABC的外心上时，M取最小值．三种情况下M均无最大值，故分类讨论出M的最小值，即可得到答案．

解答：解：∵

OP

=(x，y)，

OA

=(a，0)，

OB

=（0，a），

OC

=(3，4)
当a=0时，M≥

5

2

当a=7时，（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值，M≥

7 2

2

当a≠0，且a≠7时，当P落在△ABC的外心Q上时，且Q最小时，M有最小值
∵Q所在的直线与AB垂直，故Q落在直线y=x上
若PA²≥PB²，则y≥x；
当y≥x时M²=max{PA²，PC²}
∵到点C的距离等于到x轴的距离的点的轨迹是抛物线：（x-3）²=8（y-2），
交直线y=x于P（7-2

6

，7-2

6

），
∴M_min=7-2

6

，∴当a=2时，M取最小值7-2

6

，
故M的取值范围是[7-2

6

，+∞)
故答案为：[7-2

6

，+∞)

点评：本题考查的知识点是两向量的和或差的模的最值，其中分类讨论出M的最小值，是解答本题的关键点，同时也是难点．