题目内容
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量
=（a-2b，c），
=（cosC，cosA），且
．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．
解：（1）∵，∴
=（a-2b）cosC+cosA=0，
由正弦定理得（sinA-2sinB）cosC+sinCcosA=0，
即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosC，
所以sin（A+C）=2sinBcosC，即sinB=2sinBcosC，
又∵sinB≠0，∴cosC=
，
又C∈（0，π），∴C=
；
（2）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，
即
，∴a2+b2=4+ab≥2ab，
∴ab≤4，
∴S△ABC=
=
，
当且仅当a=b=2时，△ABC的面积的取到最大值
分析：（1）由已知可得：=（a-2b）cosC+cosA=0，进而得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosC，由三角函数的公式易得答案；
（2）由余弦定理可得a2+b2=4+ab≥2ab，即ab≤4，而S△ABC=，代入可得．
点评：本题考查正余弦定理的应用，涉及向量的数量积的运算，属基础题．
，∴=（a-2b）cosC+cosA=0，由正弦定理得（sinA-2sinB）cosC+sinCcosA=0，
即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosC，
所以sin（A+C）=2sinBcosC，即sinB=2sinBcosC，
又∵sinB≠0，∴cosC=
，又C∈（0，π），∴C=
；（2）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，
即
，∴a2+b2=4+ab≥2ab，∴ab≤4，
∴S△ABC=
=，当且仅当a=b=2时，△ABC的面积的取到最大值
分析：（1）由已知可得：
=（a-2b）cosC+cosA=0，进而得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosC，由三角函数的公式易得答案；（2）由余弦定理可得a2+b2=4+ab≥2ab，即ab≤4，而S△ABC=
，代入可得．点评：本题考查正余弦定理的应用，涉及向量的数量积的运算，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（ ）
A、
| ||||
| B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
|