题目内容
己知
。
（Ⅰ）若a=-1，函数
在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数
只有一个零点；
（Ⅲ）
的图象与x轴交于
两点，AB中点为
，求证：
。
。（Ⅰ）若a=-1，函数
在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数
只有一个零点；（Ⅲ）
的图象与x轴交于两点，AB中点为，求证：。 解：（Ⅰ）依题意，
，
∴
即
对
恒成立，
∴只需
，
∵x>0，
∴
当且仅当
时，等号成立，
∴
∴
（Ⅱ）当
时，
，
其定义域为
∴
，
∵x>0，
∴当0<x<1时，
0；
当x>1时，
；
∴
∴
，
，
∴函数
只有一个零点。
（Ⅲ）
，
两式相减得
由
及
，得
，
令
且
，
，
∴
∴
，
，
∴
。
，∴
即
对恒成立，∴只需
，∵x>0，
∴
当且仅当
时，等号成立，∴
∴
（Ⅱ）当
时，，其定义域为
∴
，∵x>0，
∴当0<x<1时，
0；当x>1时，
；∴
∴
，，∴函数
只有一个零点。（Ⅲ）
，两式相减得
由
及，得，令
且，，∴
∴
，，∴
。
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