Question

已知函数f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx．
（I ）若函数y=f（x）在处取得极值，求满足条件的a的值；
（II）当a＞ -

1

2

时，f（x）在（1，2）上单调递减，求a的取值范围；
（III）是否存在正实数a，使得函数y=f（x）在(

1

e

，e)内有且只有两个零点？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）f′(x)=2ax+1-2a-

1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

有已知得f′(2)=0即

(4a+1)(2-1)

2

=0
∴a=-

1

4

经检验a=-

1

4

符合题意
（II）f（x）的定义域为（0，+∞）
当a≥0时，由1＜x＜2知f′（x）＞0∴f（x）在（1，2）递增，不符合题意
当-

1

2

＜a＜0时，∵-

1

2

＜a＜0∴-

1

2a

＞1又∵x＞令f′(x)＜0得1＜x＜-

1

2a

∵f（x）在（1，2）上递减∴-

1

2a

≥2∴-

1

4

≤a＜0
总之a∈[-

1

4

，0)
（III）令f′（x）=0
∵a＞0解得x=1或x=-

1

2a

(舍)
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
要使y=f（x）在（

1

e

，e）内有且仅有两个零点，只需

f( 1 e )＞0 f(x)min＜0 f(e)＞0

即

a( 1 e )2+(1-2a) 1 e -ln 1 e ＞0 a+1-2a-ln1＜0 ae2+(1-2a)e-lne＞0

∴

a＜ e+e2 2e-1 a＞1 a＞ 1-e e2-2e

∵

e+e2

2e-1

-1=

e(e-1)+1

2e-1

＞0∴

e+e2

2e-1

＞1
∵

1-e

e2-2e

＜0
∴1＜a＜

e+e2

2e-1