Question

已知函数f（x）=（1-a²）x²-2bx+b²（-1＜b-1＜a）．用card（A）表示集合A中元素的个数，若使得f（x）＞0成立的充分必要条件是x∈A，且card（A∩Z）=4，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-1，2）
• B、（1，2）
• C、（2，3）
• D、（3，4）

Answer 1

分析：由card（A∩Z）=4知A中恰有4个整数，
即不等式f（x）＞0的解集中恰有4个整数解，
再由f（x）＞0?（x-b）²-（ax）²＞0?[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0求解．
分类讨论，当-1＜a≤1时，原不等式的解集不符合题意；a＞1求出

3a-3＜4a-4 0＜1+a 3a-3＜1+a 0＜4a-4

的解集即可．

解答：解：依题意A中恰有4个整数，所以不等式f（x）＞0的解集中恰有4个整数解．
因为f（x）＞0?（x-b）²-（ax）²＞0?[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0，
当-1＜a≤1时，原不等式的解集不符合题意；
当a＞1时，[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0?（a-1）（a+1）[x-

b

1-a

][x-

b

1+a

]＜0，
所以

b

1-a

＜x＜

b

1+a

．
因为

b

1+a

∈（0，1），所以

b

1-a

∈（-4，-3）．所以3a-3＜b＜4a-4．
又0＜b＜1+a，所以

3a-3＜4a-4 0＜1+a 3a-3＜1+a 0＜4a-4

解得1＜a＜2．
故选B．

点评：本题主要考查集合的关系和不等式的解法，在解题中1-a和1+a处在系数位置要注意正负的讨论．