题目内容

已知函数f(x)=
px2+3
q-2x
是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且f(2)=-
15
4
．
（1）求p、q；
（2）若f（x）≥6，求x的取值范围．
分析：（1）由已知函数的定义域内没有0可知q=0，结合f(2)=-
15
4
，可求p
（2）由（1）可知f(x)≥6 得 -
3x2+3
2x
≥6，把分式不等式变形为整式不等式可求
解答：解：（1）由题知
q
2
=0 得 q=0，此时f(x)=
px2+3
-2x

又f(2)=-
15
4
，∴-
4p+3
4
=15 得 p=3
∴f(x)=-
2x2+3
2x

（2）f(x)≥6 得 -
3x2+3
2x
≥6，变形得：
x2+4x+1
x
≤0
它等价于x（x2+4x+1）≤0（x≠0）
解得：-2+
3
＜x＜0 或 x＜-2-
3
点评：本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，及分式不等式的解法，体现了分式与整式不等式的解法的相互转化．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
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（2）当x∈[
1
e
，e]时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
-x3+x2+bx+c
 ，(x＜1)
alnx
 ，(x≥1)
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1
2
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x+1

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已知函数f(x)=x+
tx
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已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
（O为坐标原点）．
（1）求证：y1+y2为定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．
（3）对于给定的实数a（a＞1）是否存在这样的数列{an}，使得f(an)=log3(
3
an+1)，且a1=
1
a-1
？若存在，求出a满足的条件；若不存在，请说明理由．

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