Question

【题目】如图，直二面角中，四边形ABCD是边长为2的正方形，，F为CE上的点，且平面ACE．

Ⅰ求证：平面BCE；

Ⅱ求二面角的余弦值；

Ⅲ求点D到平面ACE的距离．

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）；（III）.

【解析】

要证明平面BCE，需要在平面BCE内找两条相交直线都垂直于，而易证； 求二面角的余弦值，需要先作角，连接BD交AC交于G，连接FG，可证得是二面的平面角，在中求解即可； 求点D到平面ACE的距离，可以转化为求三棱锥的高用等体积法求出即可。

解：平面

二面角为直二面角且．

平面

平面

连接BD交AC交于G，连接FG

正方形ABCD边长为，

平面由三垂线定理的逆定理得．

是二面的平面角

平面BCE，

又，在等腰直角三角形AEB中，

又中，

中

二面角的正弦值等于

过点E作交AB于点O，

二面角为直二面角，平面ABCD

设D到平面ACE的距离为h，由，可得

点D到平面ACE的距离为