Question

【题目】已知椭圆，点P(2，0)．

(I)求椭圆C的短轴长与离心率；

( II)过(1，0)的直线与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）短轴长为，离心率为．（Ⅱ）见解析

【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得，，于是可得短轴长与离心率．（Ⅱ）方法一：通过判断点P与以MN为直径的圆的位置关系可得结论．方法二：运用作差比较的方法判断大小关系．

详解：（I）由题意的椭圆的方程为，

∴

∴，．

∴椭圆C的短轴长为，离心率为．

（II）方法1：结论是：．

当直线斜率不存在时，．

当直线斜率存在时，设直线

由消去y整理得，

∵直线与椭圆交于两点，

∴．

设，

则．

又

∴，

∴点P在以MN为直径的圆内，

故．

（II）方法2：结论是．

当直线斜率不存在时，

当直线斜率存在时，设直线

由消去y整理得，

∵直线与椭圆交于两点，

∴．

设，

则，

∴，

∴

，

，

∵，

∴．