Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，λsinBsinC-1=cos²A-cos²B-cos²C．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数λ的取值集合．

Answer 1

分析：（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理、诱导公式求得2sinAcosB=sinA，求得cosB=

1

2

，由此求得B的值．
（2）由已知条件根据正弦定理求得

b2+c2-a2

2bc

=

λ

2

，再由余弦定理可得cosA=

λ

2

，再由B=

π

3

，且三角形为直角三角形，求出A的值，可得实数λ的取值集合．

解答：解：（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，（1分）
所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA．（3分）
因为sinA≠0，所以cosB=

1

2

． （4分）
因为B∈（0，π），所以B=

π

3

．（6分）
（2）由已知条件λsinBsinC-1=cos²A-cos²B-cos²C（3）可得，sin²A=sin²B+sin²C-λsinBsinC，
根据正弦定理知：a²=b²+c²-λbc，所以

b2+c2-a2

2bc

=

λ

2

．（8分）
再由余弦定理可得cosA=

λ

2

，（9分）
因为B=

π

3

，且三角形为直角三角形，所以A=

π

6

 或A=

π

2

，（10分）
所以cosA=

3

2

或cosA=0，（11分）
所以λ的取值集合为{

3

，0}．（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．