Question

已知f（x）=ae^-x+cosx-x（0＜x＜1）
（1）若对任意的x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：e-x+sinx＜1+

x2

2

(0＜x＜1)．

Answer 1

（1）由f（x）＜0，得a＜（x-cosx）•e^x，
记g（x）=（x-cosx）•e^x，
则g′（x）=（1+sinx）•e^x+（x-cosx）•e^x
=（1+sinx-cosx+x）•e^x，
∵0＜x＜1，
∴sinx＞0，1-cosx＞0，e^x＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上为增函数．
∴-1＜g（x）＜（1-cos1）•e，故a≤-1．

（2）构造函数h（x）=e-x+sinx-1-

x2

2

（0＜x＜1），且h（0）=0，
则h′（x）=-e^-x+cosx-x，
由（1）知：当a=-1时，f（x）=-e^-x+cosx-x＜0（0＜x＜1），
∴h（x）在（0，1）单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，
即e-x+sinx＜1+

x2

2

(0＜x＜1)．