Question

已知函数f(x-1)=

x

-1(x≥1)，函数f（x）的反函数为f^-1（x）．
（I）求函数f^-1（x）的解析式及定义域；
（II）若函数g（x）=4f^-1（x）-4（k+2）x+k²-2k+2在[0，2]上的最小值为3，求实数k的值．

Answer 1

分析：（I）从条件中先求得函数式f（x），y=f（x）中反解出x，再将x，y互换即得．
（II）先化简写出函数f（x）=4x²-4kx+k²-2k+2在区间[0，2]上有最小值3，对函数进行配方，对对称轴是否在区间内进行讨论，从而可知函数在何处取得最小值，解出相应的a的值．

解答：解：（I）∵函数f(x-1)=

x

-1(x≥1)，∴f(x)=

x+1

-1(x≥0)，
∴函数f^-1（x）的解析式为：y=（x+1）²-1，（x≥0）．
（II）解：函数g（x）的对称轴为 x=

k

2

①当

k

2

≤0即k≤0时g_min（x）=g（0）=k²-2k+2=3解得k=1±

2

k≤0∴k=1-

2

．
②当0＜

k

2

＜2即0＜k＜4时 g（x）的最小值g（

k

2

）=-2k+2=3解得 k=-

1

2

∵0＜k＜4故 k=-

1

2

不合题意
③当

k

2

≥2即k≥4时g_min（x）=g（2）=k²-10k+18=3解得 k=5±

10

∵k≥4∴k=5+

10

．
综上：k=1-

2

．或 5+

10

．

点评：考查反函数、二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题，体现了分类讨论和运动变化的思想方法，属中档题．