Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn=

a 2 n -2an+2

2an

，且a_n＞0，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）利用a1=S1=

a 1 2 -2a1+2

2a1

求出a₁，由Sn=

a n 2 -2an+2

2an

．求得a₂，同理求得 a₃．
（2）猜想an=

2n+1

-

2n-1

，n∈N₊，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设ak=

2k+1

-

2k-1

，则当n=k+1时，由条件可解出 ak+1=

2(k+1)+1

-

2(k+1)-1

，故n=k+1时，猜想仍然成立．

解答：解：（1）a1=S1=

a 2 1 -2a1+2

2a1

，所以，a1=-1±

3

，又∵a_n＞0，所以a1=

3

-1.S2=a1+a2=

a2

2

+

1

a2

-1，所以 a2=

5

-

3

，S3=a1+a2+a3=

a3

2

+

1

a3

-1所以a3=

7

-

5

．
（2）猜想an=

2n+1

-

2n-1

．
证明：1°当n=1时，由（1）知a1=

3

-1成立．2°假设n=k（k∈N₊）时，ak=

2k+1

-

2k-1

成立ak+1=Sk+1-Sk=(

ak+1

2

+

1

ak+1

-1)-(

ak

2

+

1

ak

-1)=

ak+1

2

+

1

ak+1

-

2k+1

．
所以

a

2 k+1

+2

2k+1

ak+1-2=0ak+1=

2(k+1)+1

-

2(k+1)-1

所以当n=k+1时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切n∈N₊都成立．

点评：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，立即可得到所有的正整数n都成立，必须用上假设．