题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为4，F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点为A，△AF1F2的面积为2
6
，点P（x0，y0）是椭圆C上的动点
（1）求椭圆C的方程
（2）若∠F1PF2为钝角，求点P的横坐标x0的取值范围．
分析：（1）先确定b的值，再利用△AF1F2的面积为2
6
，及a2=b2+c2，可确定椭圆C的方程；
（2）若∠F1PF2为钝角，则
PF1
•
PF2
＜0，由此可求点P的横坐标x0的取值范围．
解答：解：（1）∵2b=4，∴b=2，①
由题意，设A（x，x）（x＞0），则
x2
a2
+
x2
b2
=1，②
∵△AF1F2的面积为2
6
，∴cx=2
6
，③
由①，②，③及a2=b2+c2，解得a=2
3
，
∴椭圆C的方程：
x2
12
+
y2
4
=1
（2）∠F1PF2为锐角，则
PF1
•
PF2
＜0
∴x
2
0
+y
2
0
＜8，
∵
x
2
0
12
+
y
2
0
4
=1，
∴x
2
0
＜6，
∴-
6
＜x0＜
6
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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