Question

已知函数f（x）=ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R），
(Ⅰ)若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
(Ⅱ)求f（x）的单调区间；
(Ⅲ)设g（x）=x²-2x，若对任意x₁∈(0，2]，均存在x₂∈(0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围。

Answer 1

解：，
（Ⅰ），解得；
（Ⅱ），
①当a≤0时，，
在区间（0，2）上，f′（x）＞0；在区间（2，+∞）上f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）；
②当，
在区间（0，2）和上，f′（x）＞0；在区间上f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是；
③当，
故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
④当，
在区间和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在区间上f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是；
（Ⅲ）由已知，在(0，2]上有，
由已知，，
由（Ⅱ）可知，
①当时，f（x）在(0，2]上单调递增，
故，
所以，
故；
②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
故；
由，
所以，
综上所述，。