Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，（n=1，2，3，…），
证明：(1)数列是等比数列；
(2)S_n+1=4a_n．

Answer 1

证明：（1）∵，
∴(n+2)S_n=n(S_n+1-S_n)，
整理，得nS_n+1=2(n+1)S_n，
∴，
故是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，
于是，
又a₂=3S₁=3，
故S₂=a₁+a₂=4=4a₁，
因此，对于任意的正整数n≥1，都有S_n+1=4a_n。