Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，且PA=AD，E，F分别是AB，PC的中点．
（1）求证：EF⊥面PCD；
（2）若CD=

2

AD，求BD与面EFD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判断定理证得AG⊥平面PCD，利用平行四边形得到EF∥AG，利用两条平行线中一条垂直一个平面，另一条也垂直平面，得到EF⊥平面PCD．
（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，由第（1）问可知PC⊥平面AEF，利用向量的数量积求出BD与面EFD所成角的正弦值．

解答：解：（1）取PD中点G，由PA=AD得AG⊥PD，又CD⊥PD，所以AG⊥平面PCD，
因为EG∥AE且相等，
所以EF∥AG，
所以EF⊥平面PCD…（6分）
（2）以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴建立空间直角坐标系，
设AD=1，则CD=PD=

2

，
所以B(

2

，0，0)，C(

2

，1，0)，D（0，1，0），P（0，0，1），

DB

=(

2

，-1，0)…（1分）
由第（1）问可知PC⊥平面AEF，
所以

PC

=(

2

，1，-1)为平面AEF的法向量…（2分）
所以cos＜

DB

，

PC

＞=

2-1

3 •2

=

3

6

…（2分）
所以所求角的正弦值

3

6

…（1分）

点评：解决立体几何中的线面的位置关系、度量关系，一般利用的方法是建立直角坐标系，转化为向量间的位置关系和度量关系．