题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1， $数学公式$ ．
（1）求证：数列 $数学公式$ 是等比数列；
（2）求a_n．

（1）证明：∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∵a₁=1，∴ $\text{[math]}$
∴数列 $\text{[math]}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知， $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （n≥2）
∵a₁=1，∴也符合上式
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）利用数列递推式，可得 $\text{[math]}$ ，化简可得结论；
（2）确定 $\text{[math]}$ ，进而利用数列递推式，即可求a_n．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，属于中档题．

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