Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（，0），右顶点为D（2，0），设点A（1，），
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值。

Answer 1

解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，
则半短轴b=1，
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为；
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），
由x=，得x₀=2x-1，
由y=，得y₀=2y-，
由点P在椭圆上，得，
∴线段PA中点M的轨迹方程是；
（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，
因此△ABC的面积S_△ABC=1；
当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入，
解得B（，），C（-，-），
则，
又点A到直线BC的距离d=，
∴△ABC的面积S_△ABC=，
于是S_△ABC=，
由≥-1，得S_△ABC≤，其中，当k=时，等号成立；
∴S_△ABC的最大值是。