Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-a|+|x+2|（a为常数，且a∈R）；
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤5；
（2）当a≥1时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x+2|，设数轴上与-2，1对应的点为A，B，将A，B分别向左，右平移1个单位得点A₁，B₁，利用绝对值的几何意义可求得不等式f（x）≤5的解集；
（2）可通过分类讨论将f（x）=|x-a|+|x+2|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，利用各分段函数的单调性即可解决问题．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x+2|，设数轴上与-2，1对应的点为A，B，将A，B分别向左，右平移1个单位得点A₁（对应-3），B₁（对应2），
则|A₁A|+|A₁B|=5，
|B₁A|+|B₁B|=5，
∴不等式f（x）≤5的解集为[-3，2]．（4分）
（2）f（x）=|x-a|+|x+2|=

-2x+a-2，x＜-2 a+2，-2≤x≤a 2x-a+2，x＞a|

，由于f（x）在x＜-2时为减函数，在x＞a时为增函数，所以f（x）的值域为[a+2，+∞）．（10分）

点评：本题考查带绝对值的函数，通过分类讨论将f（x）=|x-a|+|x+2|中的绝对值符号去掉是解决问题的关键，突出化归思想与分类讨论思想的考查，属于中档题．