Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+t y=2+ 3 t

（t为参数）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换

x′=x y′= 1 2 y

得到曲线C'，设M（x，y）为曲线C′上任一点，求x2-

3

xy+2y2的最小值，并求相应点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）直接消去参数t得直线l的普通方程，根据ρ²=x²+y²可得曲线C的直角坐标方程；
（2）先根据伸缩变换得到曲线C′的方程，然后设M（2cosθ，sinθ），则x=2cosθ，y=sinθ代入x2-

3

xy+2y2，根据三角函数的性质可求出所求．

解答：解：（1）∵直线l的参数方程为

x=1+t y=2+ 3 t

（t为参数），
∴消去参数t得直线l的普通方程为

3

x-y-

3

+2=0，
∵ρ=2，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4；
（2）∵曲线C：x²+y²=4经过伸缩变换

x′=x y′= 1 2 y

得到曲线C'，
∴C′：

x2

4

+y2=1，
设M（2cosθ，sinθ）则x=2cosθ，y=sinθ，
∴x2-

3

xy+2y2=3+2cos(2θ+

π

3

)，
∴当θ=

π

3

+kπ，k∈Z时，即M为（1，

3

2

）或(-1，-

3

2

)时x2-

3

xy+2y2的最小值为1．

点评：本题主要考查了极坐标方程，参数方程化直角坐标方程，以及椭圆的参数方程在求最值上的应用和三角函数求出最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．