Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

Sn

n

）在直线y=

1

2

x+

11

2

上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n及使不等式T_n＜

k

2012

对一切n都成立的最小正整数k的值；
（3）设f（n）=

an(n=2l-1，l∈N*) bn(n=2l，n∈N*)

问是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意得

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，即S_n=

1

2

n²+

11

2

n．利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求得a_n，由b_n+2-2b_n+1+b_n=0及等差数列的定义可判断{b_n}为等差数列，由前9项和为153及b₃=11可求得b₇，进而可得公差d，由等差数列的通项公式可求得b_n；
（2）由（1）可得c_n=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．利用裂项相消法可求得T_n，T_n＜

k

2012

恒成立可转化最值解决，而由T_n的单调性可判断T_n→

1

2

，从而得到结论；
（3）由（1）易知f(n)=

n+5，(n=2l-1，l∈N*) 3n+2，(n=2l，l∈N*)

，分m为奇数、偶数两种情况进行讨论可表示出f（m+15）=5f（m），进而解得m，作出结论；

解答：解：（1）由题意，得

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，即S_n=

1

2

n²+

11

2

n．
故当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

n²+

11

2

n）-[

1

2

（n-1）²+

11

2

（n-1）]=n+5．
n=1时，a₁=S₁=6，而当n=1时，n+5=6，
所以a_n=n+5（n∈N^*）；
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n （n∈N^*），
所以{b_n}为等差数列，于是

9(b3+b7)

2

=153．
而b₃=11，故b₇=23，则公差d=

23-11

7-3

=3，
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．
（2）c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

3

[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
所以，T_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．
易知T_n单调递增，由T_n＜

k

2012

得k＞2012T_n，而T_n→

1

2

，
故k≥1006，∴k_min=1006．
（3）f(n)=

n+5，(n=2l-1，l∈N*) 3n+2，(n=2l，l∈N*)

，
①当m为奇数时，m+15为偶数．
此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，解得m=11．
②当m为偶数时，m+15为奇数．
此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10．
所以m+20=15m+10，解得m=

5

7

∉N*（舍去），
综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立；

点评：本题考查数列与不等式的综合、数列的函数特性、数列递推式等知识，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力，综合性强，难度大．