Question

对于正实数a，函数y=x+

a

x

在（

3

4

，+∞）上为增函数，求函数f（x）=log_a（3x²-4x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：利用证明单调性的定义法得到关于参数的不等式，化简成不等式恒成立的情况，求出参数的取值范围，再根据参数的取值范围判断函数的单调区间．

解答：解：∵y=x+

a

x

在（

3

4

，+∞）上为增函数．
∴

3

4

＜x₁＜x₂时y₁＜y₂，
即x₁+

a

x1

-x₂-

a

x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

＜0?x₁x₂-a＞0?a＜x₁x₂在

3

4

＜x₁＜x₂时恒成立，∴a≤

9

16

，
f（x）=log_a（3x²-4x）的定义域为
（-∞，0）∪（

3

4

，+∞），而0＜a≤

9

16

＜1，
∴f（x）与g（x）=3x²-4x在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上的单调性相反，
∴f（x）的单调递减区间为（

4

3

，+∞）．
答：f（x）的单调递减区间为（

4

3

，+∞）．

点评：本考点考查函数的单调性，由单调性求参数，以及求复合函数的单调区间，解本题判断出参数的取值范围是关键．