Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₈＞S₉＞S₇，下列结论中：
①d＞0；②S₁₅＞0；③S₁₆＜0；④S₁₇＞0；⑤S₁₀＜S₇
正确的结论是______．

Answer 1

∵S₈＞S₉，且S₉=S₈+a₉，
∴S₈＞S₈+a₉，即a₉＜0，
又S₈＞S₇，S₈=S₇+a₈，
∴S₇+a₈＞S₇，即a₈＞0，
又S₉＞S₇，S₉=S₇+a₈+a₉，
∴S₇+a₈+a₉＞S₇，即a₈+a₉＞0，
∴d=a₉-a₈＜0，故选项①错误；
又a₁+a₁₅=2a₈，
∴S₁₅=

15(a1+a15)

2

=15a₈＞0，故选项②正确；
又a₁+a₁₆=a₈+a₉，
∴S₁₆=

16(a1+a16)

2

=8（a₈+a₉）＞0，故选项③错误；
又a₁+a₁₇=2a₉，
∴S₁₇=

17(a1+a17)

2

=17a₉＜0，故选项④错误；
∵d＜0，a₈＞0，a₉＜0，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n为关于n的二次函数，其图象为开口向下的抛物线，
当n=8时，S_n取得最大值，
则S₁₀＜S₇，故选项⑤正确，
综上，正确的结论是②⑤．
故答案为：②⑤