题目内容
（2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为
，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4
y的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（-4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求
•
的取值范围．
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（-4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求
| OS |
| OT |
分析：（1）由抛物线x2=4
y得焦点(0，
)．设椭圆方程为
+
=1(a＞b＞0)．由题意可得b=
，再利用e=
=
及a2=b2+c2即可得出；
（2）由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系．设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，-y1）．直线BE的方程为y-(-y2)=
(x-x2)．把y1，y2分别用x1，x2表示，在代入直线BE的方程即可得出；
（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及判别式，再利用向量的数量积
•
，即可得出其其中范围．当过点M的直线斜率不存在时，比较简单．
| 3 |
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| c |
| a |
1-
|
（2）由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系．设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，-y1）．直线BE的方程为y-(-y2)=
| y2+y1 |
| x2-x1 |
（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及判别式，再利用向量的数量积
| OS |
| OT |
解答：（1）解：由抛物线x2=4
y得焦点(0，
)．
设椭圆方程为
+
=1(a＞b＞0)．
由题意可得
，解得
，
∴椭圆的方程为
+
=1．
（2）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），
联立
，消去y得到（4k2+3）x2+32k2x+64k2-12=0 ①
设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，-y1）．
直线BE的方程为y-y2=
(x-x2)．
令y=0，则x=x2-
，
把y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式并整理得x=
．②
由①得x1+x2=-
，x1x2=
，将其代入②并整理得x=
=-1．
∴直线BE与x轴相交于定点M（-1，0）．
（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，
联立
得（4m2+3）x2+8m2x+4m2-12=0，
则△=（8m2）2-4（4m2+3）（4m2-12）=144（m2+1）＞0．
∴x3+x4=-
，x3x4=
，
∴y3y4=m2(x3+1)(x4+1)=m2（x3x4+x3+x4+1）=-
．
∴
•
=x3x4+y3y4=-
=-
-
．
由m2≥0得
•
∈[-4，-
)．
当过点M的直线斜率不存在时，直线ST的方程为x=-1，S(-1，
)，T(-1，-
)，
此时，
•
=-
，
∴
•
的取值范围为[-4，-
]．
| 3 |
| 3 |
设椭圆方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由题意可得
|
|
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），
联立
|
设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，-y1）．
直线BE的方程为y-y2=
| y2+y1 |
| x2-x1 |
令y=0，则x=x2-
| y2(x2-x1) |
| y2+y1 |
把y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式并整理得x=
| 2x1x2+4(x1+x2) |
| x1+x2+8 |
由①得x1+x2=-
| 32k2 |
| 4k2+3 |
| 64k2-12 |
| 4k2+3 |
| (128k2-24)+4×(-32k2) |
| -32k2+8(4k2+3) |
∴直线BE与x轴相交于定点M（-1，0）．
（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，
联立
|
则△=（8m2）2-4（4m2+3）（4m2-12）=144（m2+1）＞0．
∴x3+x4=-
| 8m2 |
| 4m2+3 |
| 4m2-12 |
| 4m2+3 |
∴y3y4=m2(x3+1)(x4+1)=m2（x3x4+x3+x4+1）=-
| 9m2 |
| 4m2+3 |
∴
| OS |
| OT |
| 5m2+12 |
| 4m2+3 |
| 5 |
| 4 |
| 33 |
| 4(4m2+3) |
由m2≥0得
| OS |
| OT |
| 5 |
| 4 |
当过点M的直线斜率不存在时，直线ST的方程为x=-1，S(-1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
此时，
| OS |
| OT |
| 5 |
| 4 |
∴
| OS |
| OT |
| 5 |
| 4 |
点评：本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、直线过定点问题、向量相等及其数量积等基础知识及基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．
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