Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件先证明四边形ABFD为正方形，由等腰三角形的性质证明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，从而证得PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出

OE

 和

PF

 的坐标，由

OE

=-

1

2

PF

 可得 OE∥PF，从而证得OE∥平面PDC． 
（Ⅲ） 设平面PDC的法向量为

n

=(x1，y1，z1)，直线CB与平面PDC所成角θ，求出一个法向量为

n

=(

2

，0，1)，又

CB

=(-2，-2，0)，可得 

n

和 

CB

 夹角的余弦值，即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形．
∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）
∵BD=

AD2+AB2

=2

2

，∴PO=

PB2-BO2

=

2

，AO=

1

2

BD=

2

，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，∴PO⊥AO，…（4分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．    …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），
P(0，0，

2

)，E(-

1

2

，-

1

2

，

2

2

)．
则

OE

=(-

1

2

，-

1

2

，

2

2

)，

PF

=(1，1，-

2

)，

PD

=(1，-1，-

2

)，

PC

=(1，3，-

2

)．
∴

OE

=-

1

2

PF

，∴OE∥PF，∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，∴OE∥平面PDC．   …（9分）

（Ⅲ） 设平面PDC的法向量为

n

=(x1，y1，z1)，直线CB与平面PDC所成角θ，
则

n •PC =0 n •PD =0

，即

x1+3y1- 2 z1=0 x1-y1- 2 z1=0

，解得

y1=0 x1= 2 z1

，令z₁=1，
则平面PDC的一个法向量为

n

=(

2

，0，1)，又

CB

=(-2，-2，0)，
则sinθ=|cos＜

n

，

CB

＞|=

2 2

3 ×2 2

=

3

3

，∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为

3

3

．…（14分）

点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，把CB和平面PDC所称的角的正弦值转化为CB和平面PDC的法向量夹角的余弦值，是解题的难点和关键．