Question

【题目】已知函数 (， 为自然对数的底数).

（1）求函数的极值；

（2）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）的最大值为1.

【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调性得到函数的极值.(2)先把问题转化为关于的方程 在上没有实数解，再转化为方程化为没有实数解，得k的最大值.

详解：（1） ，

①当时， ， 为上的增函数，所以函数无极值.

②当时，令，得， .

， ； ， .

所以在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得极小值，且小值为，无极大值.

综上，当时，函数无极小值；

当， 在处取得极小值，无极大值.

（2）当时， .

直线与曲线没有公共点，

等价于关于的方程在上没有实数解，

即关于的方程 在上没有实数解.

①当时，方程可化为，在上没有实数解.

②当时，方程化为.

令，则有

令，得，

当变化时， 的变化情况如下表：

		-1
	-	0	+
	↘		↗

当时， ，同时当趋于时， 趋于，

从而的取值范围为.

所以当时，方程无实数解，

解得的取值范围是.

综上，得的最大值为1.