Question

一个多面体的直观图和三视图（正视图、左视图、俯视图）如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点.求证：

（1）MN∥平面ACC₁A₁；

（2）MN⊥平面A₁BC.

Answer 1

证明略

解析:

  由题意可知，这个几何体是直三棱柱，

且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.

（1）连接AC₁，AB₁.

由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

所以AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形.

由矩形性质得AB₁过A₁B的中点M.

在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN∥AC₁，

又AC₁平面ACC₁A₁，

MN平面ACC₁A₁，

所以MN∥平面ACC₁A₁.

（2）因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC₁平面ACC₁A₁，

所以BC⊥AC₁.

在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁.

又因为BC∩A₁C=C，

所以AC₁⊥平面A₁BC.

由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC.