Question

已知函数f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（α）=

3 2

10

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期，由余弦函数的递增区间为[2kπ-π，2kπ]，k∈Z列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为函数的递增区间；
（Ⅱ）由第一问确定的函数解析式，以及f（a）=

3 2

10

，求出cos（α+

π

4

）的值，将所求式子变形后，利用二倍角的余弦函数公式化简，将cos（α+

π

4

）的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1

2

（1+cosx）-

1

2

sinx-

1

2

=

2

2

cos（x+

π

4

），
∵ω=1，∴f（x）的最小正周期为2π；
令2kπ-π≤x+

π

4

≤2kπ，k∈Z，解得：2kπ-

5π

4

≤x≤2kπ-

π

4

，k∈Z，
则函数的单调递增区间为[2kπ-

5π

4

，2kπ-

π

4

]，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=

2

2

cos（α+

π

4

）=

3 2

10

，
∴cos（α+

π

4

）=

3

5

，
∴sin2α=-cos（

π

2

+2α）=-cos2（α+

π

4

）=1-2cos²（α+

π

4

）=1-

18

25

=

7

25

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．