题目内容
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.
(1)求证：AB1⊥C1D1；
(2)求证：AB1⊥面A1CD；
(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.
(1)证明：∵A1C1=B1C1，?
∴C1D1⊥A1B1.?
又平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，?
∴C1D1⊥平面A1ABB1.?
∴C1D1⊥平面AB1.?
又AB1⊥C1B,∴AB1⊥平面BC1D1.?
∴AB1⊥C1D1.?
(2)证明：∵BD∥DA1,∴BD∥平面A1CD.?
∵C1D1∥CD,∴C1D1∥平面A1CD.?
∴平面BC1D1∥平面A1CD.?
又AB1⊥平面BC1D1，∴AB1⊥面A1CD.?
(3)解析：设AB1与A1D相交于H，则CH是CA在平面A1CD内的射影，?
∴∠ACH就是直线AC与平面A1CD所成的角.?
易证明A1H=
AB1=1,?
∴sin∠ACH=
.?
∴∠ACH=30°.?
∴直线AC与平面A1CD所成的角为30°.
练习册系列答案
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如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为
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