Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，满足S_n=2a_n-1
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设bn=

log2(1+Sn)

an

，求{b_n}的前n项和T_n：

Answer 1

分析：（1）当n=1时，代入可得a₁=1，当n≥2时，可得a_n=2a_n-1，由等比数列的通项公式可得；
（2）由（1）可得S_n=2ⁿ-1，Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

由错位相减法可得．

解答：解：（1）当n=1时，S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，可得a_n=2a_n-1，
故数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
故数列{a_n}的通项a_n=2^n-1
（2）由（1）可得S_n=2a_n-1=2•2^n-1-1=2ⁿ-1，
∴bn=

log2(1+Sn)

an

=

log22n

2n-1

=

n

2n-1

，
∴Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①
两边同乘以

1

2

可得，

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，②
①-②可得

1

2

Tn=

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴T_n=4-

n+2

2n-1

点评：本题考查错位相减法求和，涉及等比数列的判定，属中档题．