题目内容
已知函数f（x）=sin
+
cos
，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并求函数f（x）在x∈[-2π，2π]上的单调递增区间；
（2）函数f（x）=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f（x）的图象．
| x |
| 2 |
| 3 |
| x |
| 2 |
（1）求函数f（x）的最小正周期，并求函数f（x）在x∈[-2π，2π]上的单调递增区间；
（2）函数f（x）=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f（x）的图象．
分析：将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=2sin（
+
），
（1）利用-
+2kπ≤
+
≤
+2kπ，且x∈[-2π，2π]，对k合理取值求出单调递增区间
（2）该函数图象可由y=sinx的图象，先向左平移
，再图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，，即得到函数 y=2sin（
+
）
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
（1）利用-
| π |
| 2 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（2）该函数图象可由y=sinx的图象，先向左平移
| π |
| 3 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
解答：解：f（x）=sin
+
cos
=2sin（
+
）
（1）最小正周期T=
=4π．令z=
+
，函数y=sinz的单调递增区间是[-
+2kπ，
+2kπ]，k∈Z．
由-
+2kπ≤
+
≤
+2kπ，得-
+4kπ≤x≤
+4kπ，k∈Z．
取k=0，得-
≤x≤
，而[-
，
]?[-2π，2π]
函数f（x）在x∈[-2π，2π]上的单调递增区间是[-
，
]．
（2）把函数y=sinx图象向左平移
，得到函数y=sin（x+
）的图象，
再把函数y=sin（x+
） 的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（
+
）的图象，然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即得到函数 y=2sin（
+
）的图象．
| x |
| 2 |
| 3 |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
（1）最小正周期T=
| 2π | ||
|
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
由-
| π |
| 2 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 3 |
| π |
| 3 |
取k=0，得-
| 5π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 3 |
| π |
| 3 |
函数f（x）在x∈[-2π，2π]上的单调递增区间是[-
| 5π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）把函数y=sinx图象向左平移
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
再把函数y=sin（x+
| π |
| 3 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
| x |
| 2 |
| π |
| 3 |
点评：本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．函数图象变换的一般的顺序可以依照：→φ→ω→A→b的次序．
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