Question

（2012•绵阳二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F_lvF₂，离心率e=

2

2

，A为右顶点，K为右准线与x轴的交点，且

AF2

•

AK

=4-3

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l，使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左焦点F₁恰为△BCD的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

2

2

，得a=

2

c，利用

AF2

•

AK

=4-3

2

可得(c-a)(

a2

c

-a)=4-3

2

，求出几何量，从而求出椭圆方程；
（Ⅱ）直线F₁B：y=-x+m，代入x²+2y²=2整理，得3x²-4mx+2m²-2=0．利用椭圆的左焦点F₁恰为△BCD的垂心可得

F1C

•

BD

=0，从而可得2×

2m2-2

3

+(1-m)×

4m

3

+m2-m=0，进而可确定m的值，由此可得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设焦点坐标为F₁（-c，0），F₂（c，0），
由e=

2

2

，得a=

2

c．    ①
∵A为右顶点，K为右准线与x轴的交点，
∴A（a，0），K（

a2

c

，0），
∴

AF2

=（c-a，0），

AK

=（

a2

c

-a，0），
∵

AF2

•

AK

=4-3

2

∴(c-a)(

a2

c

-a)=4-3

2

　　　②
由①、②解得a=

2

，c=1，
∵b²=a²-c²=1，∴b=1．
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）假设存在直线l满足题意，B（0，1），F₁（-1，0），
于是直线F₁B的斜率为

1-0

0+1

=1．
由于BF₁⊥CD，令l：y=-x+m，代入x²+2y²=2整理，得3x²-4mx+2m²-2=0．
令C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则

△=8(3-m2)＞0 x1+x2 = 4m 3 x1x2= 2m2-2 3

又

F1C

•

BD

=（x₁+1，y₁）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+x₂+y₁y₂-y₁=x₁x₂+x₂+（m-x₁）（m-x₂）-（m-x₁）
=2x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）-m+（x₁+x₂）=2x₁x₂+（1-m）（x₁+x₂）+m²-m，
由

F1C

•

BD

=0，代入x₁+x₂，x₁x₂得2×

2m2-2

3

+(1-m)×

4m

3

+m2-m=0，
整理得3m²+m-4=0，
解得m=1或-

4

3

． （11分）
当m=1时，直线l恰过B点，于是B、C、D不构成三角形，故m=1舍去．
当m=-

4

3

时，满足△=8（3-m²）＞0．
故所求的直线l为：y=-x-

4

3

，即3x+3y+4=0．（14分）

点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，联立直线方程与椭圆方程是解题的关键．