Question

已知椭圆G与双曲线12x²－4y²＝3有相同的焦点，且过点P(1，)．

(1)求椭圆G的方程；

(2)设F₁、F₂是椭圆G的左焦点和右焦点，过F₂的直线l：x＝my＋1与椭圆G相交于A、B两点，请问△ABF₁的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为　1分 　　设椭圆的长轴长为，则，即， 　　又，所以 　　∴椭圆G的方程　5分 　　(2)如图，设内切圆M的半径为，与直线的切点为C，则三角形的面积等于的面积＋的面积＋的面积． 　　即 　　当最大时，也最大，内切圆的面积也最大，　7分 　　设、()，则， 　　由，得，　9分 　　解得，， 　　∴，令，则，且， 　　有，令，则，　11分 　　当时，，在上单调递增，有，， 　　即当，时，有最大值，得，这时所求内切圆的面积为，　12分 　　∴存在直线，的内切圆M的面积最大值为．　13分