Question

已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，求△面积的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的焦点、离心率的定义列出方程，解出基本量a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点斜式先设出直线的方程，令直线与椭圆方程联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到，，列出和的面积，从而得到的面积表达式，将，代入，最后利用均值定理得到最大值，注意要讨论最大值成立的条件.
（1）依题意有，．
可得，．
故椭圆方程为．                  ５分
（2）直线的方程为．
联立方程组
消去并整理得． （*）
设，．
故，．
不妨设，显然均小于．
则，
．
 
．
等号成立时，可得，此时方程（*）为 ，满足．
所以面积的最大值为．                       13分