Question

(1)已知函数f（x）的定义域为(0,1)，求f（x²）的定义域；

(2)已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（x）的定义域；

(3)已知函数f（x+1）的定义域为［-2,3］，求f（2x²-2）的定义域.

Answer 1

解析：无论何种函数，定义域是指自变量x的取值范围，同一题目中“f”相同，它所“加工”的变量的范围也相同，如f（x）=x²+2x+1可形象地比喻为f（□）=□²+2□+1，从而f（x²）=（x²）²+2（x²） +1.

f（x²）的定义域是指x的取值范围.而由f（2x+1）的定义域求f（x）的定义域，是将2x+1看作整体，求这个整体的范围，令t=2x+1 ，先得到f（t）中t的范围，从而过渡到f（x）中x的范围.

解：(1)∵f（x）的定义域为（0，1），即0＜x＜1，

∴要使f（x²）有意义，必须x²在（0，1）内，即0＜x²＜1，

    得-1＜x＜0或0＜x＜1.

∴f（x²）的定义域为（-1，0）∪（0，1）.

(2)∵f（2x+1）的定义域为（0，1），即x∈（0，1），∴1＜2x+1＜3.

    令t=2x+1，则f（t）的定义域，即t的取值范围为（1，3）.而f（x）与f（t）的定义域是相同的，

∴f（x）的定义域为（1，3）.

(3)∵f（x+1）的定义域为［-2,3］，∴-2≤x≤3,

    令t=x+1,∴-1≤t≤4.∴f（t）的定义域为-1≤t≤4.

    即f（x）的定义域为-1≤t≤4，因此要使f（2x²-2）有意义，需使-1≤2x²-2≤4.

∴-≤x≤-或≤x≤.

∴函数f（2x²-2）的定义域为 ［-,-］∪［,］.