Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=2时，设函数h(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3，若在区间[1，e]上至少存在一个x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数即可得出其单调区间；
（2）通过对p分类讨论，令F（x）=h（x）-f（x），“在区间[1，e]上至少存在一个x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立”?F（x）_max＞0即可．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x-3，（x＞0），
∴f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，令f^′（x）=0，则x=1．
列表如下：
由表可知：f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减．
（2）当a=2时，f（x）=2lnx-2x-3．
令F（x）=h（x）-f（x）=（p-2）x-

p+2e

x

-3-（2lnx-2x-3）=px-

p

x

-2lnx-

2e

x

．
①当p≤0时，px-

p

x

=p

x2-1

x

≤0，

-2e

x

-2lnx＜0，
∴在[1，e]上不存在x₀满足F（x）＞0，即h（x₀）＞f（x₀）不成立．
②当p＞0时，F^′（x）=

px2+p+2e-2x

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2p≥0，∴F^′（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上单调递增．
∴F（x）_max=F（e）=pe-

p

e

-4．
故只要pe-

p

e

-4＞0，解得p＞

4e

e2-1

．
所以P的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

点评：熟练掌握导数与函数单调性的关系及对问题正确等价转化是解题的关键．