Question

（2012•宜宾一模）设数列{a_n}（n∈N）满足a₀=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）当n∈N⁺时，令bn=

n+1

n+2

×

1

an

，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：

1

3

≤Sn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2得，数列{a_n+1-a_n}为等差数列，且首项a₁=2，公差为2，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（II）确定数列的通项，利用裂项法求和，借助于单调性，即可得到结论．

解答：解：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2可得：数列{a_n+1-a_n}为等差数列，且首项a₁-a₀=2-0=2，公差为2（3分）
∴a_n-a_n-1=（a₁-a₀）+2（n-1）=2+2（n-1）=2n（4分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+4+6+…+2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1）（6分）
（II）由（I）可知：bn=

n+1

n+2

×

1

an

=-

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜

3

4

（10分）
易知：S_n在n∈N^*时，单调递增，
∴S_n≥S₁=

1

3

（11分）
∴

1

3

≤S_n＜

3

4

（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查叠加法的运用，考查数列求和，解题的关键是确定数列的通项，属于中档题．