Question

如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，

，．

（1）求证：平面平面 ；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）如图所示，取AB中点E，连PE、CE．

则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB．

PE=1，CE=，PC=2，即．

由勾股定理可得，PE⊥CE．又因为ABÌ平面ABCD，CEÌ平面ABCD，

且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．

而PEÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．

（2）（方法1）如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH．

因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．

又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．

已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．

故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．

由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．

而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因为AH⊥平面PCD，

所以AH∥EF．

由于AB∥平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF．

所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF．

在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．

即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．

（方法2）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），=（,1,0），=（,0,-1），=（0,2,0）．

设是平面PAC的一个法向量，则，即．

取，可得，．

设是平面PCD的一个法向量，则，即．

取，可得，．

故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．