题目内容
已知函数f(x)=2x3+m3(m∈N*)．(1)若x1、x2∈(0，m)，求证：f(x1)+f(x2)≥2f(
)；
(2)若an=f(n)，n=1，2，…，m-1，其中m≥3，m∈N．求证：a1+am-1≥a2+am-2；
(3)对于任意的a、b、c∈[
m]，问以f(a)、f(b)、f(c)的值为长的三条线段是否可构成三角形?请说明理由．
解：(1)先证2①
即证： ②
只需证：(x1+x2)（
）≥2（
）3
∵x1·x2∈(0，m)，则x1+x2＞0
∴只需证：
即（x1-x2）2≥0
∴f(x1)+f(x2)≥2f(
)
(2)m=3时显然成立，m＞3时，由（1）得：
a1+a3＞2a2
a2+a4＞2a3
a3+a5＞2a4
am-3+am-1＞2am-2
各式相加得：a1+am-1≥a2+am-2
(3)f′(x)=6x2
∴f′(x)在[
]大于0恒成立
∴f(x)在[
m]上为增函数
∴f(x)min=f(
)=
m3 f(x)max=f(
)=
m3
∴
m3+
m3=
m3＞
m3恒成立
∴2f(x)min＞f(x)max
∴以f（a）、f(b)、f(c)的值为长的三条线段能构成三角形
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