题目内容
设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R），已知F（x）=f（x）-f′（x）是奇函数，且F（1）=11．
（1）求b、c、d的值；
（2）求F（x）的单调区间与极值．
（1）求b、c、d的值；
（2）求F（x）的单调区间与极值．
分析：（1）求函数的导数，利用F（x）是奇函数，且F（1）=11．建立方程求b，c，d．
（2）利用导数求F（x）的单调区间与极值．
（2）利用导数求F（x）的单调区间与极值．
解答：解：（1）f'（x）=3x2+2bx+c，
∴F（x）=f（x）-f′（x）=x3+（b-3）x2+（c-2b）x+d-c，
∵F（x）是奇函数，
∴b-3=0，且d-c=0，即b=3，d=c．
∴F（x）=x3+（c-2b）x．
∵F（1）=11，
∴F（1）=1+c-2b=11，
即c-2b=10，∴c=2b+10=16，
又d=c，可得d=16．
综上知，b=3，c=16，d=16．
（2）由（1）知f（x）=x3+3x2+16x+16．
f'（x）=3x2+6x+16=3（x+1）2+15＞0，
∴函数单调递增，无极值．
即函数F（x）的单调区间是R，无极值．
∴F（x）=f（x）-f′（x）=x3+（b-3）x2+（c-2b）x+d-c，
∵F（x）是奇函数，
∴b-3=0，且d-c=0，即b=3，d=c．
∴F（x）=x3+（c-2b）x．
∵F（1）=11，
∴F（1）=1+c-2b=11，
即c-2b=10，∴c=2b+10=16，
又d=c，可得d=16．
综上知，b=3，c=16，d=16．
（2）由（1）知f（x）=x3+3x2+16x+16．
f'（x）=3x2+6x+16=3（x+1）2+15＞0，
∴函数单调递增，无极值．
即函数F（x）的单调区间是R，无极值．
点评：本题主要考查导数的计算，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的运算能力．
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