Question

已知函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-2.
（Ⅰ）将函数f（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，φ∈[0，2π））的形式，并指出f（x）的周期；
（Ⅱ）求函数f(x)在[π，

17π

12

]上的最大值和最小值

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-2.化简为Asin（ωx+φ）+B的形式，然后求出f（x）的周期
（Ⅱ）根据题意，求出f(x)在[π，

17π

12

]上的单调区间，然后根据单调性的意义分别求出最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

sinx+

1+cosx

2

-2=

1

2

(sinx+cosx)-

3

2

=

2

2

sin(x+

π

4

)-

3

2

．
故f（x）的周期为2kπ{k∈Z且k≠0}．
（Ⅱ）由π≤x≤

17

12

π，得

5

4

π≤x+

π

4

≤

5

3

π．
因为f（x）=

2

2

sin(x+

π

4

)-

3

2

在[π，

5π

4

]上是减函数，
在[

5π

4

，

17π

12

]上是增函数．
故当x=

5π

4

时，f（x）有最小值-

3+ 2

2

；
而f（π）=-2，f（

17

12

π）=-

6+ 6

4

＜-2，
所以当x=π时，f（x）有最大值-2．

点评：本题考查Asin（ωx+φ）+B中参数的物理意义，以及三角函数的周期性，还有三角函数的最值．通过求f（x）在已知区间上的单调性来求最值．属于基础题．