Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点（S_n，n）都在函数f（x）=log₂（x+4）-2的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

解：（I）由题意，∵点（S_n，n）都在函数f（x）=log₂（x+4）-2的图象上
∴n=log₂（S_n+4）-2，
∴．…（2分）
当n≥2时，，…（4分）
当也适合上式，
∴数列{a_n}的通项公式为．…（6分）
（II）∵，…（8分）
∴，①
，②
②-①得=
=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺²=（n+1）•2ⁿ⁺²-2³•2^n-1=n•2ⁿ⁺²…（12分）
分析：（I）根据点（S_n，n）都在函数f（x）=log₂（x+4）-2的图象上，可得n=log₂（S_n+4）-2，即，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（II）求得数列{b_n}的通项，再利用错位相减法，即可求得数列{b_n}的前n项的和T_n
点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，解题的关键是掌握数列求通项的方法，正确运用错位相减法，属于中档题．