Question

已知函数f（x）=lnx，若g（x）=f（x）+

2

x

+x-2-b（b∈R）．
（1）求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围；
（3）当0＜m＜n时，求证：f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

．

Answer 1

分析：（1）切线斜率为f′（1），f（1）=0，由点斜式可求切线方程；
（2）表示出g（x），求得g′（x），利用导数可求得函数的极小值为g（1），由函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，可得

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，解出不等式组即可；
（3）要证f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

，可转化为证明ln

m+n

2n

＜

m+n

2n

-1，构造函数h（x）=lnx-x-1，x∈（0，1），利用导数可判断函数h（x）的单调性，根据单调性可作出作出大小比较；

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

，则切线斜率k=f′（1）=1，f（1）=0，
所以曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=x-1；
（2）g（x）=lnx+

2

x

+x-2-b，（x＞0），
g′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

，
由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，
所以g（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间为（0，1），
当x=1时，g（x）取得极小值g（1），
因为函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，
所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，即解得1＜b≤

2

e

+e-1，
所以b的取值范围是（1，

2

e

+e-1]；
证明：（3）当0＜m＜n时，要证f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

，即证ln（m+n）-ln2n＜

m-n

2n

，即证ln

m+n

2n

＜

m+n

2n

-1，
构造函数h（x）=lnx-x-1，x∈（0，1），
当x∈（0，1）时，h′（x）=

1

x

-1＞0，
所以函数h（x）在（0，1）上递增，
又0＜

m+n

2n

＜1，所以h（

m+n

2n

）＜h（1），即ln

m+n

2n

＜

m+n

2n

-1，
所以f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、单调性、函数的零点，考查转化思想，（3）问中对不等式作等价变形后构造函数是解决问题的关键，应注意归纳总结．