Question

已知(x

x

+

1

3 x

)n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37．
（1）求x的整数次幂的项；
（2）展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）据前三项的二项式系数之和为37，求出n；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为整数得到x的整数次幂的项
（2）据二项展开式中间项的二项式系数最大，再利用组合数公式证明．

解答：解：（1）(x

x

+

1

3 x

)n展开式的前三项的二项式系数之和为
C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
解得n=8
∴(x

x

+

1

3 x

)n=(x

x

+

1

3 x

)8的展开式的通项为
Tr+1=

C

r 8

 (x

x

)8-r(

1

3 x

)r=

C

r 8

x12-

11r

6

当r=0，6时，x的指数为整数
∴x的整数次幂的项有x¹²，28x
（2）展开式共有9项
据展开式中间项的二项式系数最大
故展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数
证明：∵展开式第5项的二项式系数为

C

4 8

=

8×7×6×5

1×2×3×4

=70
展开式第4项的二项式系数为C₈³
展开式第6项的二项式系数为C₈⁵
∵

C

5 8

=

C

3 8

=

8×7×6

1×2×3

=56＜70
故有展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数．

点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；考查二项式系数的性质；考查组合数公式．