Question

已知数列{a_n}为等比数列，a₄=16，q=2，数列{b_n}的前n项和S_n=n²+n（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n、b_n；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等比数列的通项公式可得a₁，由等比数列通项公式可得a_n，根据，可得b_n；
（2）由（1）表示出c_n，利用错位相减法可求得T_n．
解答：解：（1）∵数列{a_n}为等比数列，∴a₄=a₁q³，∴16=a₁•2³，∴a₁=1，
∴a_n=2ⁿ（n∈N*），
∵数列{b_n}的前n项和S_n=n²+n，
∴令n=1，b₁=2，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²+（n-1），
∴b_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=n+1，
∴{b_n}的通项公式为：b_n=n+1（n∈N*）；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（n+1）•2ⁿ，
∴T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ
2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹
∴相减得，-T_n=2×2+（3-2）×2²+（4-3）×2³+…+[（n-1）-n]×2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹
∴-T_n=4+2²+2³+…+2²-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=4+-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹；
点评：本题考查等差数列等比数列的通项公式、错位相减法对数列求和，考查学生的运算能力，熟记基本题目的基本方法是解决问题的基础．